一元四次方程的常用解法

一元四次方程的常用解法

方程两边同时除以最高次项的系数可得 (1)

移项可得 x4+bx3=-cx2-dx-e (2) 两边同时加上 ，可将（2）式左边配成完全平方，

方程成为 (3)

在（3）式两边同时加上

可得

(4)

（4）式中的y是一个参数。当（4）式中的x为原方程的根时，不论y取什么值，（4）式都应成立。

特别，如果所取的y值使（4）式右边关于x的二次三项式也能变成一个完全平方式，则对（4）对两边同时开方可以得到次数较低的方程。 为了使（4）式右边关于x的二次三项式也能变成一个完全平方式，只需使它的判别式变成0，即 (5)

这是关于y的一元三次方程，可以通过塔塔利亚公式来求出y应取的实数值。

把由（5）式求出的y值代入（4）式后，（4）式的两边都成为完全平方，两边开方，可以得到两个关于x的一元二次方程。

解这两个一元二次方程，就可以得出原方程的四个根。

费拉里发现的上述解法的创造性及巧妙之处在于：第一次配方得到（3）式后引进参数y，并再次配方把（3）式的左边配成含有参数y的完全平方，即得到（4）式，再利用（5）式使（4）的右边也成为完全平方，从而把一个一元四次方程的求解问题化成了一个一元三次方程及两个一元二次方程的求解问题。 不幸的是，就象塔塔利亚发现的一元三次方程求根公式被误称为卡当公式一样，费拉里发现的一元四次方程求解方法也曾被误认为是波培拉发现的 一般的四次方程还可以待定系数法解，这种方法称为笛卡尔法，由笛卡尔于1637年提出。

先将四次方程化为x4+ax3+bx2+cx+d=0的形式。

令 ，整理后得到y4+py2+qy+r=0（1）

设y4+py2+qy+r=(y2+ky+t)(y2-ky+m)=y4+(t+m-k2)y2+k(m-t)y+tm

比较dy对应项系数，得t+m-k2=p，k(m-t)=q，tm=r

设k≠0，把t和m当作未知数，解前两个方程，得 ，

再代入第三个方程，得 。即k6+2pk4+(p2-4r)k2-q2=0

解这个方程，设k0是它的任意一根，t0和m0是k=k0时t和m的值那么方程（1）就成为

(y2+k0y+t0)(y2-k0y+m0)=0

解方程y2+k0y+t0=0和y2-k0y+m0=0就可以得出方程（1）的四个根，各根加上 就可以得出原方程的四个根。

有限（私有独资）公司改制成股份公司，该怎么运做

有限公司整体变更的工作程序

（一）尽职调查

对于改制项目，主要是有限公司成立以来的合法性、企业业务状况和发展前景，具体包括以下几个方面：

1、股本形成过程的合法性

从有限公司设立开始，需要关注设立时出资方式（系以现金、实物资产、无形资产等），除以现金出资外，实物资产出资的需要进行审计、评估等相关手续；无形资产出资的需要履行相关手续，如技术认定、评估，以土地出资的需要经过土地评估机构的评估，并需要经国土管理部门的确认（现阶段拟上市公司已不允许以商标、商誉等无形资产出资）

在有限公司持续经营过程中，会出现增资扩股、股权转让等，每一次股权变动时的法律文件（董事会和股东会决议、验资报告、工商变更登记等）是否齐备，行为是否合法。

2、资产形成过程的合法性

有限公司持续经营过程中，主要的经营性资产的形成过程。

3、经营状况

1）经营业绩的真实性

2）关联交易情况

3）财务制度状况

4）财务数据的真实性

有限公司情况下，由于监管相对较弱、管理者的管理水平、财务人员的水平等原因，不可避免存在财务数据的真实性问题，如民营企业大部分或多或少存在漏税现象，对此只能从大的方面去把握，具体问题必须聘请注册会计师对企业进行审计后才能知道。

5）特定行业经营的合法性。如医药行业，是否具备药品生产许可证书、药品批准文号等；房地产行业是否具备房地产开发资质；工程建筑企业是否具备工程建筑资质；通信设备制造企业是否具备入网许可证是否等等。

6）公司研究开发能力和核心技术情况

7）业务发展前景

需要调阅的资料须为原始资料

（二）进行企业规范工作

（三）企业聘请中介机构

企业需要聘请财务顾问，负责改制方案的拟定、法律法规咨询、上市前的辅导、中介机构关系的协调以及相关文件资料的制作等等。同时聘请有证券从业资格的会计师，评估师和律师协助改制工作。

（四）确定改制方案

在财务顾问的主持和统一协调下，会同企业以及会计师、律师共同探讨论证改制方案，包括发起人及其出资方式的确定、股本结构设置、财务审计、资产评估、财务制度建立、资产处置（包括非经营性资产的剥离、土地使用权的处置、商标使用权的处置等等）、人事劳资制度建立等等。

（五）进行增资扩股或股权转让工作

如果企业在需要对股本数量、发起人数量、股权结构等进行调整，或需要引进战略投资者，或实施管理层持股（员工持股）等等，则需要进行增资扩股或股权转让工作。

（六）进行评估和审计

确定改制基准日，由具有证券从业资格的评估师对企业进行评估。一般情况下，需要对企业进行两年又一期的评估。会计审计也一样

（七）召开董事会和股东会，审议改制事项，签署发起人协议，修改《公司章程》。

（八）名称预先核准

到当地工商行政管理局办理股份有限公司名称预先核准程序。在办理名称预先核准程序时，应提交发起人协议、董事长签署的名称预先核准申请表、董事会决议等文件。

（九）办理国有股权设置事项

若有限公司股东中有国有企业或国有控股企业，则需要向国有资产管理部门申请办理国有股权设置事项。

（十）申请变更

在改制申请文件（主要包括发起人协议、公司章程、财务审计报告、验资报告、董事会股东会决议等）准备就绪以后，申请变更。

（十一）股份公司设立

在获得批准以后，企业召开创立大会暨第一次股东大会、董事会、监事会，通过公司筹建报告，选举董事长，确定经营班子等。

在创立大会召开后30天内，由股份公司董事会向省级工商行政管理部门申请设立登记。